uma família de funções

Olá, estou preocupado com este exercício:

Para cada m real (m> 1), definimos a função fm definida em (0; + ∞ (por:
fm (x) = (-2 * x + m) / (x²-2 * x + m)

O plano é fornecido com uma referência ortogonal (unidades: 1 cm na abcissa, 10 cm na ordenada).

Parte A: casos especiais
1.Veja a tabela de variação da função fm de acordo com m.
2. Desenhe a curva C2 ​​que representa f2.
3. Faça o mesmo para a função f3 e curva C3.

Parte B: caso geral
1.Defina uma tabela geral de variações de fm de acordo com m.
2. Observe Cm a curva que representa a função fm. Mostre que todas as curvas Cm passam pelo ponto (0; 1) e têm a mesma tangente.
3. Gráfico C4 e C5 no mesmo gráfico.
4. Dê as coordenadas do ponto Sm correspondentes ao mínimo de fm.
5. Mostre que os pontos Sm estão na curva Г: y = -1 / (x-1) que desenharemos para x> 1.

Passei na parte A e na pergunta 1 da parte B.
Eu encontrei (usando a derivada) isso:

fm aumenta em) -∞; 0) e em (m; + ∞ (e diminui em (0; m)).
Além disso, fm (0) = (-2 * 0 + m) / (0²-2 * 0 + m) = m / m = 1
fm (m) = (-2 * m + m) / (m²-2 * m + m) = 1 / m²

Portanto, para a questão 2, logicamente, já mostramos que todas as curvas Cm passam pelo ponto (0; 1) porque A (0; 1) ∈Cm<=>fm (0) = 1. Portanto, temos uma tangente se o número derivado for 0, então, a priori, se:
fm & # 39; (x) = 0
<=> (2x²-2xm) / (x²-2x + m) ² = 0
Certo? O problema é que não consigo resolver sozinho … alguém poderia me ajudar?

Bom Dia,

No momento, não refiz os cálculos e, portanto, acessarei a reflexão para que você progrida em suas dificuldades.

De fato, calcula a derivada, mas tem uma conclusão errada. De fato, nunca se disse que a derivada era zero no ponto A, mas todas tinham a mesma tangente no ponto A.
De repente, é suficiente calcular o coeficiente de direção da tangente em A. E se esse coeficiente de referência for o mesmo para todas as curvas, é óbvio que elas têm a mesma tangente, porque já foi mostrado que Fm (0) = 1 e , portanto, a ordenada na origem será a mesma para todas as curvas se o coeficiente de direção for o mesmo.

Em conclusão, o que você deve calcular?

Boa sorte!

Boa noite,

Aqui, acho que podemos usar essa fórmula para calcular a equação (e, portanto, ter o coeficiente de direção) da tangente a Cm em A (0; 1):

Qual é a raiz quadrada de 2? (X-0) + fm (0) = 0 (x-0) + 1 = 1

é isso? Então, temos uma tangente horizontal em A.Vu que tirei fm, deve ser válida para todas as outras curvas da família de funções, certo?
Não tenho certeza do que acabei de escrever, por isso agradeço antecipadamente pelas correções que você pode fazer.

Boa tarde!

Eu tenho que corrigir o que escrevi. Eu disse que fm (m) = (-2 * m + m) / (sqm-2 * m + m) = 1 / m² está errado!

Estou tentando acompanhar: fm (m) = (-2 * m + m) / (m ²-2 * m + m) = (-2m + m) / (m-m²) = (m (- 2 + 1)) / (m (m-1) = (-1) / (m-1)

que, a propósito, responde à pergunta 5.

O raciocínio da tangente é excelente. Voltar à definição é sempre a melhor solução quando você está perdido. É como na vida quando você está perdido, você volta para onde começou e começa de novo .

Caso contrário, o erro de cálculo foi corrigido.

Por outro lado, para que isso dê a resposta à pergunta 5), ​​será necessário justificar o fato de que o mínimo está no ponto da abscisão, caso contrário, não lhe dará muito. Ou seja, primeiro teremos que responder à pergunta 4) que informará precisamente que os pontos Sm são de coordenadas (m, -1 / (m-1)), o que permitirá concluir que esse ponto pertence à curva cuja equação é y = g (x) com g (x) = – 1 / (x-1).

Boa sorte!

Bom Dia,

De fato, isso já foi feito, mas não o especifiquei: na verdade, descobri que o mínimo de fm é atingido por x = m e que Sm (m; fm (m)) dado por Sm (m; -1 / m-1) que , portanto, pertence à curva (foi o que eu encontrei).