Ortogonal projetado

Boa noite, fiz um exercício de matemática que me traz alguns problemas, e é este exercício:

(O, i, j, k) é um sistema de coordenadas ortonormais do espaço. Deixe a linha D passar por O do vetor de direção u (1,1,1). Determine as coordenadas da projeção ortogonal H do ponto A (2, 3,4) em D.
E eu disse a mim mesmo que poderia encontrar as coordenadas de H e criar um produto escalar (AH * HD), mas que precisaria da equação da linha D para fazer isso, sabendo que o produto escalar será necessariamente zero (90 °). (x, y, z) está em D se o vetor OH for colinear com u (1,1,1) e, portanto, OH = k * u (vetor u) = k (1,1,1); portanto (xh-xo, xh-yo, zh-zo) = (k, k, k). Então podemos ver que xh = xa = 2; e que yh = 0. ponto O, sabemos que ∀ aponte O e H Є a D, real um k real tal que AB = k * u (no meu curso, mas eu não tenho as coordenadas de O, então isso realmente não me ajuda .. .

Boa noite,

As coordenadas de O sabendo que a referência é de origem O, acho que você pode resolver suas preocupações a partir desse ponto de vista ;-).

Caso contrário, seu raciocínio é bom, basta usar o fato de que AH.vc= 0 para expressar as coordenadas de H.

Boa continuação!

Ok obrigado pela sua ajuda Vou conseguir resolver este problema agora.

Bom Dia,

De fato, O é a origem do quadro de referência, de repente as coordenadas são todas iguais a 0.

Boa continuação!

Olá, volto a este tópico porque meu professor corrigiu este exercício e o que fiz não foi muito bom.
De fato, ele escreveu:
AH (vetor) * u (vetor de endereço) = 0 e H pertence a D.
AH (XH-xa, YH-ya, za-zh) (1)
u (1,1,1)
AH * u = (XH-2) + (3-yh) + (zh-4) (2)
AH * u = xh + YH + zh-9 = 0
AH * u = 3t-9 = 0
t = 9/3 = 3
D: {x = t, y = t, z = t; t pertence a R.
E como H pertence a D, então H (t, t, t) onde H = (3,3,3).
Mas eu queria saber de onde vem o parâmetro t? finalmente, é um parâmetro que permite encontrar as coordenadas de H e está presente na equação paramétrica da reta que seria {xh = 2 + 1t; yh = 3 + 1t; zh = 4 + 1t.
Me corrija se eu estiver errado, então me pergunto por que x = t; y = t; e z = t no que meu professor escreveu, então não entendo por que x, y e z têm o mesmo valor, é por causa do coeficiente de direção?
Finalmente, se o coeficiente de endereço valia (4,5,6), em (2) teremos AH * u = 4 * (xh-2) + 5 * (yh-3) +6 (zh-4) e 4xh + 5yh + 6zh = 8 + 24 + 15 = 47 ou 15t (com xh (ox) = yh = zh), então 15t = 47.

Bom Dia,

Sabemos que a linha D também passa pela origem do sistema de coordenadas!
Como resultado, O (0; 0; 0) também pertence à linha D.
Como u (1; 1; 1) é o vetor principal de D, a equação paramétrica de D também é:
{X = 0 + t
{Y = 0 + t
{Z = 0 + t

A equação paramétrica que você propõe corresponde a uma linha D do vetor de direção u que passa por 1.

Agora, aqui estamos procurando a projeção de A em D. É raro o ponto A pertencer à linha na qual projetamos, porque, caso contrário, a projeção teria as mesmas coordenadas que o ponto A se pertencesse à direita D.

De repente, a equação paramétrica que você propõe não corresponde à linha D que causou o seu erro.

Boa continuação!

Boa noite,

O que você escreveu em (2) está correto.

A equação paramétrica de uma linha reta permite visualizar o coeficiente de direção disso. A outra vantagem reside no fato de poder encontrar pontos de interseção de uma maneira mais simples, pois tudo depende de um único parâmetro.

Finalmente, existe uma infinidade de equações paramétricas da mesma linha (é suficiente substituir t por um parâmetro proporcional a t para obter uma nova equação paramétrica).

Boa continuação!

Muito obrigado por sua ajuda Pela força, minhas perguntas devem te embebedar!

Bom Dia,

Nenhuma pergunta me deixa bêbado da minha parte . Eu montei este fórum para responder perguntas, não vou reclamar de ter uma.

Boa sorte e não hesite!