Construção do pentágono regular por origami.

Origami é a arte de dobrar papel, originária do Japão. A ideia desta atividade (realizada durante a semana de matemática, você pode aprender mais sobre o contexto neste outro artigo) é usar a dobra do papel para obter, depois de desdobrado, o desenho de uma geometria marcada figura. por dobras.

Para construir dobrando, é necessário garantir uma certa precisão na confecção das dobras. Para isso, são permitidos apenas seis tipos de dobras, que definem a geometria do origami. Começamos descrevendo as dobras explicando a construção matemática que resulta delas. Em seguida, fornecemos um algoritmo para construir o pentágono regular a partir dessas dobras.

regras de construção de origami

Para cada dobra, o objeto geométrico correspondente é indicado. A seguir, a técnica de dobra é descrita através de uma série de etapas, a dobra obtida é representada por uma linha pontilhada no último desenho.

1. dobrar d : uma única dobra passa por dois pontos A e B .

   

   A dobra D é a linha (AB).
   
   Técnica de dobragem:
   
   

2. dobre m : um único vinco sobrepõe dois pontos dados.

   

   A dobra M é a mediatriz de [AB].
   
   Técnica de dobragem:
   
   

3. dobra B : há uma dobra que se sobrepõe a duas linhas de interseção $∆_1$ e $∆_2$ .

   

   A dobra B é uma das bissetrizes de $∆_1$ e $∆_2$.
   
   Técnica de dobragem:
   
   

4. P-dobra : uma única dobra passa pelo ponto A e é perpendicular à linha ∆.

   

   Obtemos a reta perpendicular a ∆ que passa por A. A pode ser colocada na reta ∆.
   
   Técnica de dobragem:
   
   

5. c-fold : uma dobra, se existir, passa pelo ponto A e leva o ponto B à linha ∆.

   

   O ponto $B_1$ em ∆ obtido tomando B em ∆ é um ponto de intersecção da reta ∆ com o círculo entre A e raio AB . Vemos o ponto $B_1$ por sobreposição, mas é necessário marcar este ponto com uma segunda dobra $P_1$ que passa por $B_1$ (independentemente de sua direção).
   
   Técnica de dobragem:
   
   

6. dobrar ou : Uma dobra, se houver, traz o ponto $A_1$ para a linha $∆_1$ e traz o ponto $A_2$ para a linha $∆_2$.

   

   A dobra O é a tangente comum às duas parábolas $P_1$ e $_P$2 com os respectivos focos $A_1$ e $A_2$ , e com a respectiva diretriz $∆_1$ e $∆_2$ . Esta linha não pode ser obtida pela construção de compasso e régua. É essa dobra que possibilita a construção de origami de objetos matemáticos que não podem ser construídos com régua e compasso como $\sqrt[3]{2}$.
   
   Técnica de dobragem:
   
   

Este último O-ply específico para a construção dobrável não será utilizado para a construção do pentágono regular. De fato, o pentágono regular pode ser construído com régua e compasso. Em uma construção dobrável, usaremos apenas as cinco primeiras dobras.

Construção do pentágono regular dobrando um lado [AB]

Descrição da construção em 3 etapas:

• construção da proporção áurea $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• construção do triângulo isósceles ABD em D, graças à relação: $AD = \Phi\times AB$ (propriedade do pentágono regular)
• construção dos dois últimos pontos C e E do pentágono, por propriedades de simetria.

Estágio 1 : construção da proporção áurea $\Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

• 
  Construção da praça da ABGF:
  1. uma dobra D para ter a linha (AB)
  2. uma dobra P de modo que a linha (AF) (perpendicular a (AB) passe por A)
  3. uma dobra P de modo que a linha (BG) (perpendicular a (AB) passe por B)
  4. a dobra B para construir a diagonal (AG) (bissetriz de (AB) e (AF)).
     
     G é então o ponto de intersecção das duas últimas dobras.
• 
  Construção do ponto I da reta (AB) tal que $AD = \Phi\times AB$:
  1. uma dobra M para ter o ponto médio H e a mediatriz ∆ de [AB]
  2. uma dobra em C para trazer o ponto G para a direita (AB)
     
     O ponto que obtive é então marcado com qualquer vinco.
     
     A relação HI = HG e a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo BHG permitem mostrar que $AD = \Phi\times AB$

2º passo : construção do triângulo isósceles ABD em D

Esquecemos os pontos F e G desenhados anteriormente.

Dos pontos A, B, I e da reta ∆:

1. uma dobra C passando por A e trazendo I sobre ∆ para obter o ponto D (marcamos o ponto D por qualquer dobra)
2. uma dobra D para ter a linha (AD)
3. uma dobra D para ter o direito (BD)

O comprimento AD é $\Phi\times AB$ .

etapa 3 : construção dos dois últimos pontos C e E do pentágono

Do triângulo isósceles ADB:

1. uma dobra M para ter a mediatriz de (BD), denotada Γ
2. uma dobra C passando por B para trazer A para Γ (marcamos o ponto C obtido por qualquer dobra)
3. uma dobra P de modo que a perpendicular a Γ passe por C
4. uma dobra M para ter a mediatriz de (AD)

O ponto E está na intersecção das duas últimas dobras.

E o polígono ABCDE é um pentágono regular.