produto escalar

Após vários testes, ligo a marca. Os vetores estão em negrito.

Eu peguei (C, corrente alternada/ ||corrente alternada|| AB/ ||AB||) como referência, uma vez que ABC mostrou ser um retângulo C, essa coordenada é ortonormal com:
C (0,0)
A (a, 0)
B (0, a√3)
I (0, (a / 2) √3)

Em seguida, reafirmei os produtos escalares que caracterizam os pontos K e L, sabendo que:
a reta (D) tem para a equação: y = β * x + a√3 ou x = 0.

Mas estou circulando, exceto por isso:
Como L e K pertencem ao conjunto Z, devemos (diferenciar as duas igualdades e levar em conta que L e K pertencem a (D)):
x_K – x_o = 0
ou
x_K + x_o = – aβ√3 / (1 + β²)

O primeiro caso daria o fato de que x_K = x_o isto é, (D) corresponde ao eixo das ordenadas, ou seja, teria a equação x = 0 (K, C, B e L alinhados).

Esse caso é mais fácil de lidar, porque sabemos que para cada M de Z, temos MI² = (7/2) a²
OK, L pertence a Z e estamos no caso em que x_K = x_o = 0

Então consideramos o caso em que M (0, y) que fornece: ((a√3) / 2-y) ² = (7/4) a²
Então: (a√3) / 2-y = + ou – a√7 / 2

Conclusão: y = (a√3 + ou – a√7) / 2

O que nos dá as duas ordenadas diferentes correspondentes aos pontos K e L, respectivamente.

De golpe: Bk.BL = 0 + ((a√3 + a√7) / 2 – a√3) * ((a√3 – a√7) / 2 – a√3)

Então: Bk.BL = ((-A√3 + a√7) / 2) * ((- a√3 – a√7) / 2)

quer dizer Bk.BL = – (-a√3 + a√7) * (a√3 + a√7) / 4

Então: Bk.BL = – (-3a² + 7a²) / 4

conclusão: Bk.BL = – a² quando B, K, L e C estão alinhados (ou seja, (D) corresponde (BC)).

Agora, continuaria sendo o caso geral com:
existem_K = βx_K + a√3 porque K pertence a (D)
existem_o = βx_o + a√3 porque L pertence a (D)

Usando a diferença dos dois produtos escalares que caracterizam Z, chegamos a isso:
x_K + x_o = – aβ√3 / (1 + β²)

E usando a soma dessas duas igualidades, chegamos a isso:
x_K² + x_o² + e_K² + e_o² -a√3 * (e_K+ y_K) = 2a²

O objetivo é mostrar que Bk.BL= -a², portanto, devemos expressar o produto escalar:
Bk.BL = x_K* x_o + (e_K -a√3) * (e_o -a√3)

O que pode ser útil:
(x_K + x_o) ² = x_K² + x_o² + 2 * x_K* x_o
(x_K – x_o) ² = x_K² + x_o² – 2 * x_K* x_o

E, da minha parte, ainda não encontrei a combinação entre o conjunto de equações a concluir.