aritmética

Boa tarde, estou bloqueando este exercício. obrigado pela vossa ajuda
I) a, b, p, q denotam números naturais diferentes de zero.
1) assuma que a = 9p + 4q eb = 2p + q. Mostre que PGCD (a, b) = PGCD (p, q)
2) deduzir que 9p + 4 e 2p + 1 são primos entre eles.
3) determine o GCF dos números naturais 9p + 4 e 2p-1 de acordo com os valores de p
II) mostrar por indução que para cada número inteiro natural diferente de zero n,
5 ^ n- (2 ^ n + 3 ^ n) é divisível por 6

para 1) a = 4b + p, portanto, PGCD (a, b) = PGCD (b, p) = PGCD (2p + q, p), mas como continuar dizendo que é = PGCD (p, q) ?
2) q = 1 PGCD (9p + 4,2p + q) = PGCD (p, 1) = 1
3) e II) eu seco completamente. Obrigada

Boa noite,

Temos as seguintes propriedades:
Para todos os números inteiros, exceto zero x, y, PGCD (x, y) = PGCD (x-y, y)
Para todos os números inteiros x, e não nulos, PGCD (x, y) = PGCD (x, y)

Então, você pode concluir seu raciocínio para 1).

2) Está correto do meu ponto de vista.

Para 3) como para II), não tenho idéia no momento t. II) parece desconectado de I), o que não parece lógico, mas ei, talvez haja uma maneira de fazer o link.

PGCD (a, b) = PGCD (b, p) = PGCD (2p + q, p) = PGCD (p + q, p) = PGCD (p, q) então é bom Obrigada
para II) nosso professor nos disse que ele está desconectado de I

Ok, funciona

Então, você conhece a noção de congruência?

Eu publico duas vezes; na verdade, é mais fácil do que o esperado com a recorrência.

A inicialização é óbvia (colocamos n = 1 e descobrimos que a expressão vale 0, que é muito divisível por 0).

Portanto, assumimos que existe um número inteiro n tal que: 6 divide 5ⁿ – (2ⁿ3ⁿ)

Vamos mostrar que: 6 divide 5^{n + 1} – (2^{n + 1}3^{n + 1})

1) De que outra forma escrever a hipótese: 6 divide 5ⁿ – (2ⁿ3ⁿ)? Volte para a definição de "um número inteiro é divisível por outro".

2) Escreva um empate de 5^{n + 1} de acordo com a hipótese de recorrência.

3) Deduzir um empate por 5^{n + 1} – (2^{n + 1}3^{n + 1}) usando a hipótese de recursão.

4) Por fatoração bem escolhida, conclua que 6 divide 5^{n + 1} – (2^{n + 1}3^{n + 1})

5) Termine de escrever a recorrência.

Boa sorte e não hesite em fazer suas perguntas!

Ok para 1),

Depois, tem uma identidade que pode manipular no tempo livre sem alterar a veracidade da própria igualdade. Portanto, é fácil isolar 5ⁿ então expresse 5^{n + 1}.

5 ^ (n + 1) = 5 * 5 ^ n = 5 (6k + (2 ^ n) + (3 ^ n)) = 30k + 5 * (2 ^ n) + 5 * (3 ^ n)
Qual é a raiz quadrada de 2? Matemática
30k + 3 * 2 ^ n + 2 * 3 ^ n é bom, então obrigado pela vossa ajuda

mas devo especificar para I) que não vimos o acessório: Para todos os números inteiros x, e não nulos, PGCD (x, y) = PGCD (x-y, y)
no entanto, acho que devemos usar a propriedade Euclid em outro momento (se a = bq + r then
PGCD (a, b) = PGCD (b, r)) mas como?

Boa noite,

Níquel para II).

Para a outra pergunta, PGCD (x, y) = PGCD (x-y, y) é óbvio:

Seja d = PGCD (x, y).

Divida x e divida y. Existem k e q de modo que: x = k * de y = q * d
Portanto, d divide x-y porque x-y = d * (k-d) (assumindo que x> y nos permite assumir que k> d por comparação de quocientes).

Em seguida, divida o GCF (x-y, y) = D

Pelo contrário, D divide x-y e então existem k & q; e q & # 39; de modo que x-y = k & * 39; * D y = q & # 39; * D
Então: (adicionando as duas equações): x = (k & # 39; + q & # 39;) * D
Portanto: D divis xe D dividem y

Conclusão: D divide o GCF (x, y) = d

Conclusão geral: D = d mostrando que PGCD (x, y) = PGCD (x-y, y)

E é graças a essa propriedade que mostramos que PGCD (x, y) = PGCD (y, r) quando x = y * q + r.
Precisamente, usamos o fato de que: PGCD (x, y) = PGCD (x-y, y) = … = PGCD (x-q * y, y) = PGCD (r, y)
E PGCD (r, y) = PGCD (y, r) por simetria da função PGCD.

Esperando que tudo isso pareça mais claro também.

Boa sorte!

É bom No entanto, temos b = 2p + q, então temos PGCD (b, p) = PGCD (p, q) que fornece o resultado diretamente.
para 3)
Eu mostrei que o GCF dos números naturais 9p + 4 e 2p-1 é 1 ou 17 (isso está de acordo com os valores de p)
então eu assumi que PGCD (9p + 4; 2p-1) = 17, então 2p-1 = 17k
o que implica que k é ímpar, então k = 2m + 1
2p-1 = 17 (2m + 1)
2p-1 = 34 m + 17
2p = 34m + 18
p = 17m + 9
mas como é um conjunto, é preciso passar por equivalências.
Não sei o que adicionar a esta etapa?

Bom Dia,

Quando você escreve isso:

Nomeação:

temos b = 2p + q, então temos PGCD (b, p) = PGCD (p, q)

Você não usa a propriedade:
Se a divisão euclidiana de a por b der a igualdade: a = bq + r, então PGCD (a, b) = PGCD (b, r)

mas a propriedade:
Se aeb são dois números inteiros tais que a> b, PGCD (a, b) = PGCD (a-b, b)

De fato, na escrita b = 2p + q nada indica que 0 <q <p o que permitiria afirmar que é a divisão euclidiana de b por p.

Então para 3),

Nomeação:

Eu mostrei que o GCF dos números naturais 9p + 4 e 2p-1 é 1 ou 17

Como
Como prova, chego à mesma conclusão que você para saber que o DCM parece ser 1 ou 17, mas para provar isso, precisamos prosseguir com uma abordagem empírica assumindo todos os casos possíveis.

A abordagem adotada mais tarde está correta do meu ponto de vista. Saber que é necessário proceder por análise de síntese. Supõe-se que o GCF seja 17 e, em seguida, encontramos um conjunto de possíveis p.
Em seguida, verificamos que o conjunto encontrado funciona (ou seja, que o GCF fornece 17).

A dificuldade reside em mostrar que, se p não pertencer ao conjunto em questão, o GCF será igual a 1.
Uma maneira de fazer isso seria considerar os possíveis casos para o formulário p, a saber:
p + q = 17k
com q varia de 0 a 16 e aí você tem todos os casos possíveis.
Com pouco tempo e cálculo, mostrei que para q = 0, o GCF estava bom.
Eu acho que a abordagem é viável, mas um pouco longa, provavelmente existe outra maneira de alcançá-la mais rapidamente, mas no momento eu não a tenho.

Boa sorte!

Excelente para os valores do gcf! Minha abordagem foi longa demais para ser viável.
Tendo as possibilidades do LCD, resta apenas mostrar que o que você fez funciona.

Caso contrário, seu professor escolheu uma propriedade intermediária, mas duvido do interesse de uma eleição desse tipo, pois sua demonstração será baseada em raciocínio semelhante ou mesmo na propriedade minimalista da subtração. Especialmente que essa propriedade é dada em 3º, o que evita dar um extra. Mas foi generalizado sem restringir o caso da divisão euclidiana que permite ter um caso geral incondicional sobre todo o número usado.

Grande trabalho!