Matemática

Como desenhar uma tabela de variação?


como construir uma tabela de variação ? Slim, não me lembro de estudar variações de f …

Na classe Terminale, o problema de o estudo de funções É colocado todos os anos no teste de matemática ES e Bac S e, às vezes, continua sendo uma das bestas dos alunos.

Como se esses exercícios matemáticos parecerem simples, um pequeno erro de sinal pode interferir rapidamente e distorcer todo o resultado.

Sim em segundo programa geralEstudamos como resolver uma equação de segundo grau; consideramos que a base do cálculo algébrico é dominada porque foram adquiridas durante a preparação da patente da universidade.

Na 2ª série, primeira e primeira série, os alunos já foram introduzidos no estudo de funções. No entanto, todos os anos, no ensino médio, conchas são convidadas nas cópias.

Portanto, é útil lembrar como desenhar a tabela de variação de uma função.

Para estudar as variações de uma funçãoEstudamos uma função relacionada, linear, polinomial, exponencial, logarítmica ou trigonométrica.

Estudo funcional a partir de sua equação – função relacionada, função linear, função assintótica, função logaritmo, função exponencial – consiste em determinar sua direção de variação e seus limites a partir de sua derivação (sua faixa de flutuação), encontrar seu fim, encontrar suas assíntotas, se existirem, traçar sua representação gráficadepois, prepare a tabela de variações.

Estudar as variações de uma função é, portanto, uma disciplina de matemática que aparece com muita frequência nos exames de matemática do ensino médio, bem como na universidade nos exames de licenciamento (MASS, AES, etc.).

Neste artigo, o editor apresenta o método geral para estudar as variações de uma função f definido em um intervalo I, desenhe seu conjunto de variações e faça sua representação gráfica.

Obviamente, isso também será útil para os cursos de matemática on-line que os alunos podem frequentar com nossos professores particulares da Superprof, bem como para uma melhor revisão com o bach de anais.

Tomemos o exemplo da função f (x) definida e dada por:

f (x) = x3 + 3x2 -9x +6.

Agora podemos derivar a função, calcular o discriminante, desenhar uma tabela de sinais de uma função derivada, resolver uma desigualdade, desenhar curvas em um gráfico sem confundir a abcissa e a ordenada?

Aqui está o procedimento a seguir.

Derivar uma soma de funções com constante

Para saber como criar uma tabela de variação, você deve primeiro conseguir derivar a função da equação dada pela instrução.

Encontre os limites e o sinal de uma equação Bloqueado depois da diversão? Lembre-se de substituir os valores de x por números arbitrários …

As derivadas das funções poder, inversa e raiz são calculadas usando a seguinte fórmula: se f (x) = xn+ a, então f & # 39; (x) = nxn-1+ A.

Para ajudar nossos leitores, aqui está um lembrete muito bom da tabela de derivativos.

Nós explicamos :

Se f (x) = x² + 1, então escrevemos sua derivada f & (39) (x) = 2x + 0, ou seja, 2x.

Tomemos o exemplo de f (x) = 10x² + 5x +2: obtemos f & # 39; (x) = 10 * 2x2-1+5, ou seja, f & # 39; (x) = 20x + 5: a derivada de uma constante é zero.

Cada derivada é calculada com poderes dessa maneira, então se f (x) = x3então f (x) = 3x².

Nossa função f (x3 + 3x2 -9x + 6) é uma função polinomial formada pela soma de 3 termos da forma "axe"n (Onde ayn são números naturais) e uma constante (o número 6).

A derivada de "axen É o jeito "ansn-1", Ou a derivada de uma constante é zero.

A derivada de f (x) é: f & # 39; (x) = 3x2 + 6x -9.

Derivar uma função com um produto

Torna-se um pouco mais complicado quando uma função é apresentada como um produto ou quociente. Por exemplo, f (x) = (2x + 1) (x²-2).

Para ajudar você mesmo, aqui está um canal do YouTube muito educacional, criado por um professor de matemática:

Em matemática, há um produto de dois fatores para u e v, aqui, u = (2x + 1) e v = (x²-2).

Para derivar, é preciso lembrar as seguintes fórmulas: (uv) & # 39; = u & # 39; v + uv & # 39;.

Recomenda-se esboçar cada expressão de u, u & v; v & v & # 39;:

  • u = 2x + 1,
  • você é = 2,
  • v = x²-2,
  • v = 2x.

Agora podemos prosseguir com a operação para calcular a derivada de f :

  • f (x) = u + v + uv & # 39; = 2 (x²-2) + 2x (2x + 1),
  • f (x) = 2x² – 4 + 4x² + 2x,
  • Dê sua nota! Dê sua nota!

Fatore se a derivada de f é possível

O objetivo desta etapa é fatorar a derivada da função f (x) para expressá-la como um produto ou um quociente de expressões.

O fatoramento é um passo fundamental que não deve ser esquecido, pois facilita muito o estudo do sinal de f (x).

Estudando o sinal de uma função: o hobby de muitos estudantes ... O fatoração de uma expressão facilitará o estudo da direção da variação.

E sim, fatorar é como resolver um quebra-cabeça matemático na aula de matemática.

Percebemos que em nossa função inicial (f (x) = x3 + 3x2 -9x +6), podemos pegar um fator 3 que dá: f & # 39; (x) = 3 (x2 + 2x -3).

x2 + 2x -3 é um trinômio de segundo grau da forma do machado2 + bx + c com a, bec que são números reais.

Para fatorar esse trinômio, você deve primeiro calcular o discriminante e encontrar as raízes x1 e x2.

o discriminar Δ = b observado2 -4ac = 22 -4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16.

O teorema discriminante Se o discriminante for menor que 0, admitimos que não há solução para a equação. Se o resultado for zero, x = -b / 2a.

Se, por outro lado, Δ for positivo, a equação terá duas soluções diferentes, de modo que x1 = (-b + √Δ) / 2a e x2 = (-b – √Δ) / 2a.

Em seguida, podemos calcular as raízes através das duas seguintes fórmulas:

x1= (-2 – 4) / 2 = -3

x2= (-2 + 4) / 2 = 1

Observe que, se o discriminante for positivo (e houver duas raízes), o trinômio poderá ser escrito de forma fatorada (x-x1) (x-2), que fornece x2 + 2x -3 = (x – (- 3)) (x-1) = (x + 3) (x-1).

A derivada da função é escrita na seguinte forma fatorada:

Dê sua nota! Dê sua nota! 2Comentários (2)

Estudar o sinal de f (x) no intervalo I

3 é um número positivo, portanto, o sinal da derivada f & # 39; (x) é idêntico ao sinal de (x + 3) (x-1).

Sabemos que se f & # 39; (x) é maior ou igual a 0, então a função f aumenta em I. Por outro lado, se f & # 39; (x) é menor ou igual a 0, então f diminui em I.

Encontre as raízes para encontrar o significado da função. Então F (x) aumenta ou diminui no intervalo inicial?

Para conhecer o sinal de f, simplesmente sabe quando f & # 39; (x) desaparece, ou podemos construir a matriz de sinais de uma função do tipo ax + b.

Dê sua nota! Dê sua nota!2 + 6x -9 = 3 (x + 3) (x-1).

x + 3 = 0 -> x = -3 ex-1 = 0 -> x = 1.

Vamos resolver as seguintes desigualdades :

x + 3> 0 => x> -3 para que o binômio x + 3 seja positivo quando x for maior que -3, zero quando x for igual a -3 e negativo quando x for menor que -3.

x – 1> 0 => x> 1, portanto, o binômio x-1 é positivo quando x é maior que 1, zero quando x é 1 e negativo quando x é menor que 1.

A tabela de sinais do derivado f & # 39; (x) é apresentada abaixo :

x – ∞ -3 1 + ∞
x + 3 – 0 + +
x – 1 – – 0 +
f (x) + 0-0 +

Portanto, f & # 39; (x) aumenta para cada x definido durante o intervalo) -∞; -3), diminuindo em (-3; 1) e aumentando em (1; + ∞ (.

Note que poderíamos ter determinado o sinal do trinômio x2 + 2x -3 usando outro método.

De fato, quando o discriminante é positivo, o trinômio temx² + bx + c leva o sinal oposto de tem no intervalo entre as duas raízes x1 e x2 e o mesmo sinal que tem em outros lugares.

Desenhe a tabela de variações de f em I

f ser diferenciável sobre I, para qualquer valor de x incluído em I:

Se f & # 39; (x)> 0 para todos os x que pertencem a I, então f aumenta estritamente em I.

Se f & # 39; (x) <0 para todos os x que pertencem a I, então f está estritamente diminuindo em I.

A tabela de variação de f é a representação esquemática das direções tomadas pela curva representativa de uma função.

Para treinar antes do próximo quinto curso de matemática secundária na Bélgica, coloque as setas na tabela abaixo.

A tabela de variação de f é dada por :

x -∞ -3 1 + ∞
f (x) 33 + ∞

1

Lembramos aqui a função inicial: f (x) = x3 + 3x2 -9x +6. Substituindo o valor de x por -3 e 1, obtemos f (-3) = 33 ef (1) = 1.

Vamos calcular os limites da função.

Dizem que tende a infinito (notado quando para tudo x grande o suficiente, é tão grande quanto você quer

Então observamos: lim (x+∞) f (x) = + ∞.

A partir da tabela de variações de f, vemos que a função tem um máximo no ponto A (-3; 33) e um mínimo no ponto B (1; 1).

Desenhe a função em seu intervalo de definição

Para desenhe um gráfico que represente essa função, basta colocar o mínimo e o máximo no marcador e fazer uma pequena mesa para nos ajudar a perguntar alguns pontos específicos:

E aqui está a nossa famosa curva. :

Como desenhar uma tabela de variação? Aprenda matemática com funções! A variação de uma função.

Matemática e arte são frequentemente relacionadas, apenas uma curva matemática, tudo é arte.

Cuidado para colocar os marcadores corretamente na curva.

Links para treinamento em exames de matemática:

A tabela de variação de uma função é usada para identificar facilmente assíntotas. Geralmente é adquirido pelo estudo do sinal da derivada.

Estude as direções de uma parábola invertida ... Pequeno exercício: como fazer a tabela de variações da equação y = – x²?

Durante uma aula de matemática, os alunos também trabalham com tabelas, com o professor de matemática, que não representam todas as funções, mas apenas uma parte.

Este é o caso quando repetido até o infinito. Essas funções são chamadas periódicas.

Resolver problemas Em matemática, é emocionante quando você sabe como fazê-lo. Pelo contrário, é um teste real quando não tivemos o clique.

Para isso, clique, existe apenas uma solução: você precisa treinar, treinar novamente, repita todos os exercícios corrigidose refazê-los incansavelmente, até entender bem as coisas.

Consulta surpresa!

  1. Seja a função f (x) = 2x35x +2-4x + 1, definido como (-100; 100),
  2. Derivar f (x),
  3. Estude a direção da variação da função derivada,
  4. F (x) está aumentando em (-100; -50)?
  5. Desenhe uma tabela de variação da função,
  6. Desenhe a representação gráfica da função f.

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